Артър Кларк
Призракът от големите плитчини (47)

Приложение
Цветовете на безкрайността

През ноември 1989 г., когато получавах наградата за особени постижения, присъдена ми от Асоциацията на космическите изследователи в Рияд, Саудитска Арабия, имах възможността да се обърна към най-голямата събрала се на едно място аудитория от астронавти и космонавти. (Бяха повече от петдесет души, включително екипажът на „Аполо И“ — Бъз Олдрин и Майк Колинз, както и осъществилият първата „космическа разходка“ Алексей Леонов, който вече не изпитва неудобство от факта, че „2010: Одисея две“ е посветена едновременно на него и на Андрей Сахаров.) Реших да разширя кръгозора на слушателите си, като им представя нещо наистина огромно, и под председателството на астронавта принц Султан бин Салман бин Абдул Азиз изнесох една богато илюстрирана лекция, озаглавена „Цветовете на безкрайността — изследване на фракталната вселена“.

Страниците, които следват, са откъс от моята лекция; друга част от нея е публикувана в началото на глава 15. Съжалявам единствено, че не мога да я илюстрирам с разкошните 35-милиметрови диапозитиви и видеоматериали, които използвах в Рияд.

 

 

Днес всеки е запознат с графиките, особено с онази, изобразяваща времето по хоризонталната ос и цената на живота, която стремително се изкачва нагоре по вертикалната ос. Идеята, че всяка точка от една равнина може да бъде представена от две числа, обикновено записвани като x и y, днес е толкова очебийна, че е просто изненадващо как математическият свят е трябвало да чака до 1637 г., когато Декарт е установил този факт.

Ние все още преоткриваме последиците от тази очевидно проста идея и най-изумителната от тях вече навърши десет години. Тя се нарича множеството на Манделброт (оттук нататък М-множество), чиито превъплъщения скоро ще започнете да откривате навсякъде — в щампите на тъкани, тапети, линолеум, формите на бижута. Боя се, че скоро ще започнат да се появяват и върху екрана на телевизорите ви във всеки втори рекламен клип!

И все пак най-вълнуващата черта на М-множеството е неговата простота. За разлика от почти всичко останало в съвременната математика, всеки ученик може да разбере как се образува. Създаването му не включва нищо по сложно от обикновено събиране и умножение; то дори не налага такива сложни действия като изваждане или — да пази Господ! — деление, да не говорим за по-екзотичните зверове от математическата менажерия.

Малко са хората от цивилизования свят, които не са се сблъсквали с известната формула на Айнщайн E = me² или които я смятат за безнадеждно сложна за разбиране. Всъщност уравнението, определящо М-множеството съдържа, същия брой членове и прилича много на формулата на Айнщайн. Ето го:

Z = z² + v

Изобщо не е ужасяващо, нали? И все пак цялото време на съществуване на вселената не би ни стигнало за изследване на всичките му стойности.

Членовете z и c в уравнението на Манделброт са числа, за разлика от Айнщайновото уравнение, където са физически понятия като маса и енергия. Това са координатите, които определят местоположението на една точка, а уравнението управлява начина, по който тази точка се движи в координатната система.

Много прост аналог на всичко това можем да открием в детските книжки с празни страници, изпъстрени с числа и точки, при съединяването на които по подходящ начин се образуват най-неочаквани скрити картинки. Телевизионното изображение се получава чрез доста по-сложното приложение на същия принцип.

На теория всеки, който умее да събира и умножава, би могъл да начертае М-множеството с молив или писалка на милиметрова хартия. Но както ще видим по-късно, възникват известни практически трудности и по-специално тази, че продължителността на човешкия живот рядко надхвърля сто години. Ето защо множеството задължително се генерира от компютър и обикновено се изобразява на екрана на монитор.

Съществуват два възможни начина за определяне мястото на дадена точка в пространството. По-често срещаният използва познатата координатна система посоките запад, изток, север, юг или изобразяването на милиметрова хартия — x върху хоризонталната ос и y върху вертикалната. Но има още един начин — системата, използвана в радара, позната на мнозина в наши дни благодарение на киното. При нея местоположението на предмета се определя /а/ от разстоянието му спрямо дадена отправна точка, и /б/ от неговата посока на движение. По една случайност това е естествената система, която човек използва автоматично и напълно несъзнателно при всяка игра с топка. Така той преценява разстояния и ъгли, като сам служи за отправна точка.

Опитайте се да си представите монитора на компютъра като екран на радар с една-единствена точка върху него, чиито движения ще проследят М-множеството. Но преди да включим нашия радар, бих искал да опростя още повече уравнението:

Z = z²

За момент изхвърлих члена с. Сега трябва да дефинирам по-точно двете z.

Малкото z е първоначалното разположение на изображението. Z е окончателното разстояние спрямо отправната точка. Така, ако то е първоначално на разстояние 2 единици) по формулата Z ще бъде 4.

Няма защо да се вълнувате — сега идва една малка, но съществена промяна, която решава всичко:

Двойната стрелка е знак за движение в двете посоки, показваща, че числата се променят взаимно непрекъснато. Този път не спираме при Z = 4; то вече е равно на ново z, което бързо ни дава нова стойност за Z = 16 и т.н. За нула време сме получили серията

256; 65 536; 4 294 967 296

и точката, тръгнала само на две единици от центъра, стремително се приближава към безкрайността с огромни, все повече увеличаващи се стъпки.

Този процес на повторение се нарича „итерация“. Прилича на куче, което гони собствената си опашка, но с тази разлика, че кучето не стига доникъде, докато математическата итерация може да ни заведе до много интересни места, както скоро ще се убедите сами.

Сега вече сме готови да включим нашия радар. Повечето екрани са разграфени на обхвати 10, 20… 100 км от центъра. Ще ни е нужен обхват със стойност 1. Не е нужно да определяме мерните единици, тъй като работим с чисти числа. Все едно е дали ще са сантиметри или светлинни години.

Да предположим, че първоначалното разположение на нашата точка е някъде върху кръга, очертаващ обхвата — ориентацията не е от значение. И така z = 1.

Тъй като 1 на квадрат е също едно, Z = 1. Точката може да се върти по кръга, на винаги ще остане върху него.

Сега да разгледаме случая, когато z е по-голямо от единица. Вече видяхме как стойностите бързо нарастват към безкрайност, ако z е равно на 2, но същото ще стане рано или късно дори ако е съвсем малко по-голямо от 1, да речем 1,000000000000000000001. Сега вижте какво става:

При първото повдигане на квадрат Z става

1,000000000000000000002,

тогава

1,000000000000000000004

1,000000000000000000008

1,000000000000000000016

1,000000000000000000032

и т.н. на стотици страници разпечатка. Практически стойността е все още точно 1. Точката не се е помръднала видимо наляво и надясно от единицата. Тя все още е разположена върху кръга.

Но нулите бавно намаляват, а цифрите продължават неумолимо своя ход наляво към единицата. Съвсем неочаквано се появяват цифри на четвърто, трето, второ, първо място след десетичната точка и всички те буквално експлодират, както сочи следният пример:

1,001 1,002 1,004 1,008 1,016 1,032

1,066 1,136 1,292 1,668 2,783 7,745

59,987 3598,467 12948970

 

167675700000000

28115140000000000000000000000

 

(Тук се претоварва и най-мощният компютър) От дясната страна на единицата може да има милион и дори милиард нули, но резултатът ще бъде един и същ. Рано или късно цифрите ще пропълзят до десетичната точка и тогава Z ще поеме пътя си към безкрайността.

Сега да разгледаме другия случай. Да приемем, че z е съвсем малко по-малко от 1, да речем нещо като

0,99999999999999999999

Както и преди, не се случва нищо особено, докато продължаваме по серията, освен че числата най-вдясно стават все по-малки. Но след няколко хиляди или милион итерации — истинска катастрофа! Z внезапно се свива до едно нищо, разтваряйки се в безкрайни редици от нули…

Проверете го на собствения си компютър. Може да борави само с 12 знака? Добре, тогава го приемете на доверие: колкото пъти се опитате да повдигнете това число на квадрат, отговорът ще е един и същ…

Резултатите от тази малка „програма“ може да бъдат обобщени в три закона, които са толкова очевидни, че не си струва изобщо да ги формулираме. Но никоя математическа истина не е тривиална и след няколко допълнителни стъпки напред тези закони ще ни отведат в една изумително красива вселена.

Ето трите закона на Програмата за повдигане на квадрат:

1. Ако първоначалното число z е равно на 1, резултатът остава винаги 1.

2. Ако първоначалното число z е по-голямо от 1, резултатът клони към безкрайност.

3. Ако първоначалното число z е по-малко от 1, резултатът клони към 0.

Кръгът с радиус 1 е нещо като периметър или ако ви харесва повече — ограда, която разделя равнината на две отделни територии. Числата извън нея, подчиняващи се на закона за повдигане на квадрат, са свободни да полетят към безкрайността; числата вътре в тази област са своеобразни пленници, обречени на унищожение, т.е. да се превърнат в 0.

Тук някой може да каже: „Досега говорихте само за разположение спрямо отправната точка. За да фиксираме точно положението на нашата точка, трябва да ни дадете и ориентацията.“

Съвсем правилна забележка. За щастие в този процес на селекция, при това разделяне на стойностите на z в две отделни групи, ориентацията е без значение; същото се отнася и за всички посоки в радиус г. В нашия прост случай — да го наречем К-множество — можем да ги пренебрегнем. Когато стигнем до по-сложния случай на М-множеството, където ориентацията е от особено важно значение, ще приложим един чудесен математически трик, който ще ни помогне. Ще въведем използването на сложни или имагинерни числа (които в действителност изобщо не са сложни и още по-малко имагинерни). Но засега те не са ни нужни и ви обещавам да не ги споменавам отново.

К-множеството лежи в очертанията на една равнина с граница кръгът, който я обгражда. Този кръг е една непрекъсната крива, лишена от всякаква плътност. Дори да я разглеждате под електронен микроскоп, тя ще изглежда винаги по един и същи начин. Можете да разширите К-множеството до размерите на вселената, неговата граница ще си остане с нулева плътност. Освен това в нея няма никакви пробиви; тя е абсолютно непроницаема бариера, разделяща завинаги стойностите на z по-малки от 1 и онези, по-големи от 1.

Сега най-сетне сме готови да се заемем с М-множеството, където всичките досегашни съвсем очевидни идеи се обръщат с главата наопаки. И така: затегнете наопаки…

През 70-те години, френският математик Беноа Манделброт, работещ в Харвард и „Ай Би Ем“, започна да изследва уравнението, което го направи световноизвестен и което сега ще изпиша в динамичния му вид:

 

Единствената разлика между него и уравнението, което използвахме за образуване на К-множеството, е членът с. Сега той, а не z е отправната точка за съставянето на новата карта на стойностите. При първата серия z ще бъде равно на 0.

На пръв поглед промяната е незначителна, но никой не може да си представи новата вселена, която ще ни разкрие тя. Самият Манделброт не е имал и най-малката представа за евентуалния резултат до пролетта на 1980 г., когато компютърът му започнал да отпечатва някакви неясни очертания.

Новото уравнение задава и отговаря на същия въпрос, както и преди: каква форма има очертаната територия, в която сме задали стойностите си? За К-множеството тя беше кръг с радиус 1. Да видим сега какво ще стане, когато започнем с тази стойност в М-уравнението. Всеки е в състояние да извърши действията наум поне за първите няколко стъпки. А след няколко десетки серии дори един суперкомпютърът ще се поизпоти.

 

Като начало: z = 0, с = 1. Така Z = 1

Първа стъпка: Z = 1² + 1 = 2

Втора стъпка: Z = 2² + 1 = 5

Трета стъпка: Z = 5² + 1 = 26

Четвърта стъпка: Z = 26² + 1 … и т.н.

 

Веднъж зададох на моя компютър по-високи стойности на отделните членове на уравнението (поради ограничените ми способности на програмист) и той даде само две нови стойности, преди да започне да закръгля:

1, 2, 5, 26, 677, 458 330,

21 006 640 000

4 412 789 000 000 000 000 000

И тук се отказа, защото не повярва, че може да съществуват числа с повече от 38 знака.

Според мен дори първите два или три резултата са съвсем достатъчни, за да покажат, че М-множеството има съвсем различна форма в сравнение с идеално кръглото К-множество. Точката 1 е в К-множеството; в действителност тя определя границата му. Една точка на същото разстояние може да бъде извън границите на М-множеството.

Забележете, че употребих „може“, а не „трябва“. Всичко зависи от първоначалната посока, от ориентацията, от отправната точка, която досега можехме да игнорираме, тъй като не оказваше никакво влияние на нашето съвсем симетрично К-множество. Излиза, че М-множеството е симетрично единствено около абцисата, хоризонталната ос.

Човек може да се досети за това от природата на уравнението. Но никой не би могъл по интуиция да отгатне действителния му вид: ако някой ми беше задал този въпрос в дните преди Манделброт, навярно бих отговорил напосоки: „Нещо като елипса, сплесната по ординатата.“ Вероятно (макар че силно се съмнявам) бих направил някакво вярно предположение, че ще бъде малко отместена наляво, или към минуса.

Тук бих искал да проведа един мислен експеримент с вас. Тъй като М-множеството изобщо не подлежи на описание, ето моят опит да ви го представя пообразно:

Представете си, че гледате отгоре една доста тлъста костенурка, плуваща на запад. Костенурката е някаква странна кръстоска с риба-меч, така че има тесен заострен шип, който стърчи далеч пред нея. Целият периметър на черупката й е богато украсен със странни морски образувания — или с малки костенурчета с най-различни размери, по които растат по-малки водорасли…

Опитайте се да намерите подобно описание в който и да е учебник по математика. И ако мислите, че ще ви стане по-ясно, стига наистина да видите това чудовище, опитайте се да си го представите. (Подозирам, че светът на насекомите е в състояние да ни предложи и по-добри аналози; възможно е да съществува Манделбротов бръмбар дълбоко в горите на Бразилия. Жалко е, че надали някога ще узнаем със сигурност това.)

 

Ето първото грубо приближение, изчистено от детайлите, точно както езерото Манделброт в замъка Конрой (глава 18).

Забележете преди всичко, че — както вече отбелязах — то се е преместило наляво (или на запад, ако ви харесва повече) на К-множеството, което, разбира се, се простира от +1 до –1 по оста x. М-множеството достига само до 0,25 вдясно по оста, макар че нагоре и надолу по оста се издува до малко над 0,4.

Наляво фигурата се простира до –1,4, а след това се трансформира в странна пика — или антена, която достига до –2. Колкото до М-множество, отвъд тази точка няма нищо; това е „ръбът“ на вселената. Любителите на Манделброт я наричат „крайния запад“ и ще видите какво става, когато с стане равно на –2. Z не се превръща в нула, но и не отива към безкрайност, така че точката принадлежи към Множеството. Но ако направите с съвсем малко по-голямо, да кажем –2,00000…000001, преди да се усетите, пресичате Плутон и се насочвате към Квазерния запад.

Сега стигаме до най-съществената разлика между двете множества. Границата на К-множеството е чиста, обикновена крива линия. Границата на М-множеството е, да го кажем най-просто, нащърбена. До каква степен е нащърбена ще разберете, когато започнем да навлизаме по-дълбоко в него; едва тогава ще можете да видите невероятните флора и фауна, които процъфтяват в тази оспорвана територия.

Границата — човек може да я нарече така — на Ммножеството не е линия; тя е нещо, което Евклид не би могъл да си представи изобщо и за което не съществува дума във всекидневния език. Манделброт, който притежава потресаващи познания по английски, е преровил речника за подходящи съществителни, определящи образите. Ето няколко примера: пени, плесени, паяжини, мрежи. Той сам е „изковал“ техническия термин „фрактал“ и сега прави всичко възможно да попречи на който и да било да го определи по-точно.

Компютрите могат лесно да направят „моментни снимки“ на М-множеството при всякакво увеличение и черно-белите такива снимки са привлекателни. Но с един прост трик всички те могат да бъдат оцветени и да се превърнат в предмети с удивителна, дори нереална красота.

Оригиналното уравнение е свързано с цветовете почти толкова, колкото и „Елементи на геометрията“ на Евклид. Но ако зададем на компютъра да оцвети някоя област в съответствие със стъпките, през които е преминало z, преди да реши дали принадлежи към Ммножеството, резултатите са направо страхотни.

Макар и произволни, цветовете не са безсмислени. Техният точен аналог може да се открие в картографията. Припомнете си контурите на релефните карти, които обозначават височината над морското равнище. Разстоянията между тях са оцветени така, че окото по-лесно да обхване информацията, който те съдържат. Същото се отнася и до океанографските карти колкото е по-дълбок океанът, толкова по-тъмен е синият цвят. Картографите могат да зададат какъвто цвят им хареса и се ръководят колкото от географски, толкова и от естетически съображения.

Тук е абсолютно същото, но с тази разлика, че цветовете се задават автоматично от скоростта, с която се извършват изчисленията; няма да навлизам в подробности. Все още не съм установил кой гений пръв го е открил — може би самият мосю М., — но като цяло образите са фантастични художествени творби. Само да ги видите, когато се раздвижат…

И тук е времето за една от многото странни мисли, които поражда М-множеството. По принцип то е можело да бъде открито още когато човешката раса се е научила да брои. Но на практика създаването на дори най-умаления образ може да изиска милиарди изчисления, така че необходимостта от мощни компютри е неизбежна. Без тях филми като „Нищо друго освен увеличение на изображението“ на „Арт Матрикс“ биха били невъзможни. Представете си как цялото население на планетата трябва да смята дни и нощи наред, без да прави грешки, и да умножава милиарди стозначни числа…

Започнах с това, че Манделбротовото множество е най-невероятното събитие в историята на човечеството. Кой би си представил, че толкова абсурдно просто уравнение би могло да създаде толкова безкрайни и неземни — в буквалния смисъл — образи?

Доколкото се опитах да обясня, Множеството на Манделброт представлява една карта. Всички сме чели онези истории за карти, които разкриват мястото, където е заровено съкровище.

Но в нашия случай съкровището е самата карта!