Карл Сейгън
Милиарди и милиарди (2) (Мисли за живота и смъртта на прага на новото хилядолетие)

Втора глава
Персийската шахматна дъска

„Не може да има по-универсален и прост език, който да е така освободен от грешки и неясноти, т.е. който да е по-достоен да изрази неизменните връзки между нещата в природата… Изглежда, [математиката] е тази дарба на човешкия разум, която трябва да компенсира краткия ни живот и несъвършенството на нашите сетива.“

Жозеф Фурие, „Аналитична теория за топлината“, встъпителна лекция(1822)

Тази история — поне във варианта, в който аз съм я чувал, — се е случила в древна Персия. Нищо не пречи обаче да я припишем и на Индия, или дори на Китай. Както и да е, случило се е много отдавна. Великият везир — главният съветник на царя — изобретил нова игра. Тя се играела с подвижни фигури на квадратна дъска, състояща се от 64 червени и черни полета. Най-важната фигура била царят. Следваща по значение била фигурата на великия везир — точно както може да се очаква в една игра, която е била измислена от велик везир. Целта на играта била да се плени противниковия цар и съответно на персийски тя била наречена шахмат — „шах“ за цар, „мат“ за мъртъв. Смърт на царя. На руски играта продължава да носи името „шахмат“, може би вследствие от някакво неугаснало революционно чувство. Дори и в английския език се е запазило ехо от това име — последният ход се нарича check-mate. Тази игра, разбира се, е шахматът. С течение на времето фигурите, техните ходове и правилата са се развили: например вече няма велик везир — той се е трансформирал в царица, която има далеч по-страховити възможности.

Остава загадка, по каква причина един цар трябва да се радва на изобретяването на игра, кръстена „Смърт на царя“. Но — поне така се разказва в историята — той останал толкова доволен, че поискал от великия везир сам да назове наградата за своето тъй прекрасно творение. Великият везир вече бил готов с отговора. Той бил скромен човек — така казал на царя — и искал съвсем скромна награда. Като посочил към осемте колони и осемте редици на изобретената от него дъска, той поискал на първото поле да му бъде дадено едно житно зрънце, на второто — два пъти по толкова, на третото — два пъти колкото на второто и т.н., докато всички полета не се запълнят с жито. Не, възпротивил се царят, това било твърде скромна награда за едно толкова важно изобретение. Той предложил на везира накити, танцьорки, дворци. Но великият везир — с подобаващо сведени за случая очи — отказал всичко това. Всичко, което искал, били малки купчинки жито. И така, царят се съгласил, като тайничко в себе си се чудел на скромността на своя съветник.

Когато обаче завеждащият царските житници започнал да отброява зърната, царят внезапно се сблъскал с една твърде неприятна изненада. В началото броят на зърната бил сравнително малък — 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024… — но с наближаването на шестдесет и четвъртото поле числата станали колосални, дори потресаващи. Оказва се, че крайното число (виж приложението в края на главата) е близо 18,5 квадрилиона (или квинтилиона по американската система). Не е изключено великият везир просто да е бил на зърнена диета.

Наградата на Великия везир — рисунка на Патрик Макдонъл

Каква е масата на 18,5 квадрилиона житни зърна? Ако всяко зрънце е с дължина един милиметър, тогава всичките заедно биха тежали около 75 милиарда метрични тона, което далеч надвишава всичко, което е можело да се събере в житниците на царя. Всъщност това е еквивалентът на около 150-годишната световна продукция на пшеница — такава, каквато е в момента. Разказът за случилото се след това не е достигнал до нас. Дали царят — от нямане какво друго да направи и разкайвайки се за слабите си познания по аритметика — е предал властта над държавата на везира, или пък последният е попаднал под ударите на някаква нова игра, наречена „везирмат“ — това за съжаление не знаем.

Историята за персийската шахматна дъска може да е само легенда. Но древните персийци и индийци са били блестящи новатори в математиката и са разбирали огромните числа, които се получават в резултат от непрекъснатото удвояване. Ако шахматът беше измислен със сто (10 x 10), вместо с 64 (8 x 8) полета, полученият в края зърнен дълг би бил с масата на нашата планета. Една подобна поредица от числа, при която всяко следващо е фиксирано кратно на предходното, се нарича геометрична прогресия, а самият процес носи името експоненциално нарастване.

Подобни експоненти се появяват в редица важни области, както по-неясни, така и съвсем познати — например сложната лихва. Ако например преди 200 години — т.е. малко след Американската революция [Войната за независимост] — някой ваш прадядо е сложил на ваше име в банката 10 долара и през цялото това време те са се увеличавали с постоянна годишна лихва от 5%, то днес те биха били 10 x (1,05)²⁰⁰ = 172 925, 81 долара. Но малцина прадядовци са толкова загрижени за съдбата на далечните си наследници, а в онези дни 10 долара са били много пари. [(1,05)²⁰⁰ означава просто 1,05, умножено по себе си 200 пъти.] А ако въпросният роднина би успял да договори годишна лихва от 6%, то сега щяхте да имате един милион долара; при 7% — над 7,5 милиона; а при невъобразимите 10% — спретнатата сумичка от 1,9 милиарда долара.

Същото е и с инфлацията. При годишен темп от 5% след една година стойността на един долар ще бъде 95 цента, (0,95)² = 91 цента след две, 61 цента след десет, 37 цента след двадесет години и т.н. Това е от голямо практическо значение за пенсионерите, чиито социални осигуровки им осигуряват фиксиран брой долара годишно, без корекции спрямо инфлацията [в Америка].

* * *

Най-често срещаните обстоятелства, при които се наблюдава последователно удвояване и следователно експоненциално нарастване, са тези на биологичното възпроизвеждане. Нека първо се спрем на простия пример на една бактерия, която се дели на две. След известно време всяка една от двете дъщерни бактерии също ще се раздели. Бактериалната колония ще продължава да се развива експоненциално, докато в околната среда има достатъчно храна или докато не се появят някакви отровни вещества. При изключително благоприятни условия удвояването може да се случва на всеки 15-ина минути. Това означава четири удвоявания на част или 96 удвоявания на денонощие. И макар бактерията да тежи едва около една билионна част от грама, след един ден на дива безполова оргия общата маса на нейните потомци ще бъде колкото на една планина. След ден и половина ще тежат колкото Земята, а след два дни — повече от Слънцето… Не след дълго всичко във Вселената ще бъде направено от бактерии. Това не е особено щастлива перспектива и за щастие никога не се случва. И защо не? Защото едно подобно експоненциално нарастване неизменно се сблъсква с някакво естествено препятствие. Буболечките остават без храна или започват да се тровят една друга, или стават свенливи и отказват да се възпроизвеждат в условията на сведено до минимум лично пространство. Експоненциалното нарастване не може да продължава вечно, тъй като в крайна сметка ще погълне всичко много преди да се сблъска с някакво препятствие. Експоненциалната крива отново става равна (вж. диаграмата).

Експоненциално нарастване на популация бактерии, на която личи как кривата се извива и става хоризонтална

Това е едно наблюдение, което има голямо значение за СПИН-епидемията. В момента в много страни броят на хората със симптоми на СПИН се увеличава експоненциално. Необходимото за неговото удвояване време е около една година. Т.е. всяка следваща година случаите на СПИН са два пъти повече, отколкото са били предходната. Вирусът вече е взел ужасно много жертви. Ако продължи да се развива експоненциално, това ще бъде невиждана до този момент катастрофа. След десет години ще има хиляда пъти повече случая на СПИН, а след двадесет — един милион пъти повече. Но ако умножим един милион пъти броя на хората, които вече са се заразили със СПИН, ще получим число, което далеч ще надминава цялото население на планетата. И ако ежегодното удвояване на болните от СПИН не се натъкне на някакво естествено препятствие и болестта неизменно води до фатален изход (и не бъде открито лекарство), то тогава всички на Земята ще умрат от СПИН, при това твърде скоро.

Оказва се обаче, че някои хора имат естествена имунна защита срещу СПИН. Освен това според Центъра за заразни болести към Службата за обществено здраве на САЩ удвояването на случаите в Америка поначало е било ограничено в рамките на някои уязвими групи, които в общи линии са сексуално изолирани от останалата част от населението — най-вече при хомосексуалистите, болните от хемофилия и използващите интравенозни наркотици. Ако не бъде открито лекарство за СПИН, то тогава повечето от наркоманите, които използват едни и същи подкожни игли, ще умрат — не всички, тъй като ще има малък процент хора с естествена резистентност, но почти всички. Същото се отнася и за мъжете хомосексуалисти, които имат безразборни връзки и не правят безопасен секс, но не и за тези, които систематично ползват презервативи, които са обвързани в дълготрайни моногамни връзки и — отново — за тези малцина, които имат естествен имунитет. Стриктно хетеросексуалните двойки с дълготрайни моногамни връзки с история назад до 80-те години на XX в., практикуващите безопасен секс и тези, които избягват използването на един и същи игли — а такива има много — на практика са изолирани от влиянието на СПИН. След като кривите на най-застрашените демографски групи спрат своя възход, на тяхно място идват други — понастоящем в Америка това, изглежда, са хетеросексуални младежи от двата пола. Може би при тях предпазливостта е надмогната от страстта и това е причината да се отдават на сексуални практики, които не са безопасни. Много от тях ще умрат, но някои ще имат или късмет, или естествен имунитет, или пък ще бъдат склонни към въздържание. Те на свой ред ще бъдат заменени от следващата най-рискова група — може би следващото поколение хомосексуални мъже. В крайна сметка се очаква общата експоненциална крива да спре своя възход и броят на смъртните случаи ще бъде много по-малък от този на всички хора на планетата. (Което е слаба утеха за множеството жертви и техните близки.)

* * *

Експонентите са също така и централната идея зад глобалната демографска криза. През по-голямата част от историята на хората на Земята тяхната популация е била стабилна, като ражданията и смъртните случаи са били в почти идеално равновесие. Това се нарича „устойчиво състояние“. След появата на земеделието — включително и посяването, и жътвата на тези житни зърна, за които толкова е жадувал онзи велик везир — човешкото население на планетата започва да се увеличава и навлиза в експоненциална фаза, която е много далеч от устойчивото състояние. Понастоящем необходимото за удвояването на световното население време е около 40 години. На всеки 40 години ще ставаме два пъти повече. Както изтъква през 1798 г. английският духовник Томас Малтус, едно експоненциално разрастващо се население — Малтус го представя като геометрична прогресия — ще надмине всяко мислимо увеличение на производството на храни. Нито някаква Зелена революция, нито хидропониката^[1], нито култивирането на пустините могат да победят експоненциалното увеличение на населението.

Експоненциално нарастване на една човешка популация, на която личи как кривата се извива и става хоризонтална

Този проблем няма извънземно решение. Понастоящем ежедневно раждащите се на Земята хора са с около 240 000 повече от умиращите. Много сме далеч от това да можем всеки ден да изпращаме в космоса 240 000 човека. Никакви обитаеми станции в орбита около Земята, на Луната или на някоя друга планета не биха могли да сложат прът в колелото на демографския взрив. Дори и да бихме могли да натоварим цялото население на планетата на звездолети, пътуващи по-бързо от светлината, и да го изпратим към планетите на далечни звезди, това не би променило нищо — всички обитаеми светове в Млечния път ще бъдат запълнени в рамките на едно хилядолетие. Освен ако не снижим темповете си на възпроизводство. Никога не подценявайте експонентите!

На представената тук диаграма е показано как населението на Земята се е увеличавало с течение на времето. Очевидно понастоящем се намираме във (или сме на път да излезем от) фаза на експоненциално нарастване. И все пак много държави — например САЩ, Русия и Китай — са достигнали или скоро ще достигнат до положение, в което увеличаването на тяхното население ще спре и те отново ще се върнат към нещо като устойчиво състояние. Другото име на тази ситуация е нулев демографски прираст (НДП). Но, тъй като експонентите са твърде могъщи, дори и една малка част от населението да продължи да се възпроизвежда експоненциално, ситуацията всъщност няма да се промени — дори и голям брой нации да са достигнали до НДП, населението на света ще продължи да нараства експоненциално.

Съществува едно добре документирано глобално съответствие между бедността и високата раждаемост. То е валидно както за малките, така и за големите страни, за капиталистическите и за комунистическите, за католическите и мюсюлманските, за западните и за източните — в почти всички тези случаи експоненциалното увеличаване на населението се забавя или спира заедно с изчезването на угнетяващата бедност. Това се нарича демографски преход. Човешкият вид има спешен и дълготраен интерес от това този преход да бъде постигнат навсякъде по Земята. Ето защо подпомагането на други страни да постигнат своята самодостатъчност е не само израз на елементарно човешко приличие, но също така е и от интерес за способните да помогнат по-богати нации. Бедността е един от основните аспекти на глобалната демографска криза.

Интерес представляват изключенията от демографския преход. Някои нации с високи доходи на глава от населението все още имат висока раждаемост. Но при тях противозачатъчните остават почти недостъпни и/или жените нямат никаква практическа политическа власт. Не е трудно да се проследи връзката.

Понастоящем на планетата има около шест милиарда човешки същества. След 40 години, ако времето за удвояване остане константа, те вече ще бъдат 12 милиарда, след 80 години — 24 милиарда, след 120 години — 48 милиарда… Малцина обаче вярват, че Земята може да изхрани едно толкова многобройно население. Вследствие от силата на това експоненциално увеличение изглежда, че днес третирането на глобалната бедност е много по-евтино и много по-хуманно в сравнение с всички решения, с които сме разполагали от доста десетилетия насам. Задачата ни е да предизвикаме глобален демографски преход и да прекъснем изкачването на експоненциалната крива. Това може да се постигне с елиминиране на крайната бедност, с широкото разпространение на безопасни и ефективни методи за контрол на раждаемостта и с даването на реални политически права (изпълнителски, законодателни, съдебни, военни и в рамките на влияещите върху общественото мнение институции) на жените. Ако не успеем, някакъв друг процес, който ще бъде в по-малка степен под наш контрол, ще го направи вместо нас.

* * *

Като заговорихме за това…

Идеята за ядрен синтез се появява за първи път в Лондон през 1933 г., в работата на един унгарски емигрант на име Лео Сцилард. Той се запитва дали човешките усилия биха могли да освободят огромната енергия, която се крие в ядрото на атома. Сцилард си задава въпроса какво би се случило, ако срещу едно атомно ядро бъде изстрелян неутрон. (Тъй като няма електрически заряд, неутронът няма да бъде отблъснат от съдържащите се в ядрото протони, а вместо това ще се сблъска директно с него.) Един ден, докато чакал смяната на светофара на една пресечка на Саутхемптън Роу, внезапно му хрумнало, че може би съществува такъв химичен елемент, чието ядро да отделя два неутрона, когато бъде ударено от един. Всеки един от тези неутрони би трябвало да освободи още неутрони и така внезапно в главата на Сцилард се оформила представата за ядрена верижна реакция, при която се освобождават експоненциално увеличаващи се количества неутрони и навсякъде наоколо се разпадат атоми. Същата вечер, в стаята си в хотел „Странд Палейс“, той изчислил, че едва няколко килограма материя биха могли да предоставят енергия, достатъчна да задоволи нуждите на един малък град в продължение на цяла година — стига да може да бъде предизвикана контролирана неутронна верижна реакция… или, че ако тази енергия бъде освободена внезапно, тя би могла да изличи от лицето на земята същия този град. В крайна сметка Сцилард емигрирал в САЩ и започнал систематично да търси такъв химичен елемент, който да може да освободи повече неутрони от сблъскалите се с него. Уранът изглеждал подходящ кандидат. Сцилард успял да убеди Алберт Айнщайн да напише прочутото си писмо до президента Рузвелт, в което го приканвал САЩ да създадат първата атомна бомба. Сцилард изиграл важна роля в осъществяването на първата уранова верижна реакция в Чикаго през 1942 г., която на практика довела до създаването на атомната бомба. Прекарал остатъка от живота си в това да предупреждава хората относно опасността от тези оръжия, идеята за които хрумнала първо нему. Сцилард открил по още един различен начин страховитата мощ на експонентите.

* * *

Всеки един от нас има двама родители, четири баби и дядовци, осем прабаби и прадядовци, 16 прапрабаби и прапрадядовци и т.н. С всяко следващо поколение, с което се връщаме назад, броят на нашите предци по права линия се удвоява. Както виждате, това е един проблем, който твърде много напомня на персийската шахматна дъска. Ако приемем, че едно поколение е равно на 25 години, то тогава времето отпреди 64 поколения ще бъде 64 x 25 = 1600 години назад, което ни връща към времето непосредствено преди падането на Римската империя. При това положение (вж. приложението на карето в главата) някъде около 400 г. всеки един от нас е имал около 18,5 квадрилиона прадеди. Или поне така изглежда. При това, без да говорим за останалите роднини. Полученото число обаче е много по-голямо от населението на Земята — както тогава, така и сега. Всъщност то надминава броя на всички човешки същества, които някога са живели. Явно сме допуснали някаква грешка в изчисленията си. Каква обаче? Всъщност сме приели, че всички тези предци по права линия са различни хора. Което, разбира се, не е вярно. Един и същ наш прародител е свързан с нас по много различни линии. Имаме многобройни повтарящи се връзки с всеки един от нашите роднини. Колкото по-далечни са те, толкова по-голям е броят на тези връзки.

Едно подобно твърдение може да се формулира за цялото човешко население на планетата. Ако се върнем достатъчно назад, ще открием, че които и да било двама души на Земята имат общ прародител. Всеки път когато бъде избран нов американски президент, веднага се намира някой — обикновено в Англия — който да открие, че новият президент е роднина на кралицата или на краля на Англия. Смята се, че това заздравява връзките между англоезичните народи. Когато двама души произхождат от една и съща нация и култура, или от едно и също кътче на света, и техните родословия са достатъчно добре документирани, то е твърде вероятно да можем да открием техния последен общ прародител. Но независимо от това, дали ще успеем да го открием, или не, връзката е повече от ясна. Ние всички сме братовчеди — всички на планетата.

* * *

Една друга често срещана проява на експонентите е идеята за периода на полуразпад. Един радиоактивен елемент-„родител“ — например плутоний или радий — се разпада до друг, може би по-безопасен „дъщерен“ елемент. Това обаче не става наведнъж. Той се разпада статистически. Съществува определен период от време, за което се е разпаднало половината количество, и той се нарича период на полуразпад. Половината от останалото се разпада за още един период на полуразпад, а половината от получения остатък — за още един период на полуразпад и т.н. Например, ако периодът на полуразпад е една година, половината ще се разпадне за една година, половината на половината или всичко без една четвърт — за две години, всичко с изключение на една хилядна — за десет години и т.н. Различните елементи имат различни периоди на полуразпад. Периодът на полуразпад се оказва нещо особено важно, когато трябва да решим какво да правим с радиоактивните отпадъци от атомните електроцентрали или когато се замислим за радиоактивното замърсяване, което би се получило при една ядрена война. Периодът на полуразпад е пример за експоненциално намаляване — по същия начин, по който персийската шахматна дъска е пример за експоненциално увеличаване.

Радиоактивният разпад е основен метод за датиране на миналото. Ако бихме могли да установим в една проба количеството на изходния радиоактивен материал и това на дъщерния продукт на разпада, то ще можем да определим от колко време въпросната проба съществува на света. По този начин беше установено, че Торинската плащеница не е погребалният саван на Исус, а благочестива фалшификация от XIV в. (когато е изобличена от църковните власти); че хората са подклаждали лагерни огньове преди милиони години; че най-старите фосили [вкаменелости] на планетата са на поне 3,5 милиарда години и че самата Земя е на 4,6 милиарда години. Космосът, разбира се, е с милиарди години, по-стар. Ако разбирате експонентите, то в ръцете си държите ключа към много от тайните на Вселената.

Ако познавате нещо само от качествената му страна, то това познание е доста мъгляво. Ако го познавате квантитативно — като вземете някаква числова стойност, която го разграничава от безкраен брой други възможности — вие вече го познавате по-издълбоко. Осъзнавате част от красотата му и получавате достъп до неговата мощ и до прозренията, към които ще ви тласне. Да се страхуват от квантификацията е равносилно на това да се лишиш от всичките си права, да се откажеш от една от най-могъщите възможности да разбереш и да промениш света.

Изчисленията, които царят е трябвало да изиска от своя везир

Няма от какво да се страхувате. Наистина е много лесно. Искаме да изчислим, колко житни зърна е имало на цялата персийска шахматна дъска.

Едно елегантно (и напълно точно) изчисление би изглеждало по следния начин:

Степенният показател просто ни казва колко пъти трябва да умножим две по самото него. 2² = 4 x 2⁴ = 16 x 2¹⁰ = 1024 и т.н. Нека обозначим със S общия брой на зърната на дъската от 1 на първото поле до 263 на 64-то. При това положение получаваме, че:

S = 1 + 2 + 2² + 2³+ … + 2⁶² + 2⁶³

Ако просто умножим по две двете страни на полученото уравнение, ще открием, че:

2S = 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + … + 2⁶³ + 2⁶⁴

Ако извадим първото уравнение от второто, ще получим, че:

2S — S = S = 2⁶⁴ — 1,

което е точният отговор.

Колко е това при обикновено обозначаване на десетична основа? 2¹⁰ е близо до 1000, или 10³ (с грешка от 2,4%). При това положение 2²⁰ = 2(^2×10) = (2¹⁰)² — приблизително (10³)² = 10⁶, което е 10, умножено по себе си шест пъти, или един милион. По същия начин 2⁶⁰ — (2¹⁰)⁶ = приблизително (10³)⁶ = 10¹⁸, Така получаваме, че 2⁶⁴ = 2⁴ x 2⁶⁹ = приблизително на 16 x 10¹⁸, или на 16 с 18 нули отзад, което е 16 квадрилиона зърна. Едно по-точно изчисление ни дава 18,6 квадрилиона зърна.